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最近高考分数出来，不少人又开始讨论本一本二这样庸俗无聊的话题了。对于中国人来说，读书永远只是手段，他们推崇“读书改变命运”，而他们所谓的“改变命运”，其实就是“挣钱”这个龌龊词汇的代名词。这样一来，中国人所推崇的就是“读书只是实现世俗目的之手段”这样的庸俗观念，因此称呼他们为低等人也就顺理成章了。这种观念导致了中国所独有的，通过读书读出来的“精英”，这实在是非常可笑的：同样的两个人，其中一位放浪形骸之外，一辈子被视为“屌丝”、“穷B”，另一位做了龌龊不堪的“读书改变命运”这件事，就一跃成为了精英。这使我联想到古时候的宫刑，如果你坚守尊严，不愿意接受阉割，那么只能被困死、饿死；而如果你放下尊严，则有可能摇身一变成为一手遮天之魏忠贤，一个“阉割改变命运”的奇迹就这样诞生了。似乎中国人只在乎“改变命运”，至于改变命运的途径和手段则是无关紧要的，如今功利的“读书”，随时随地可以被“阉割”，“卖淫”等等取代。在一个没有道德底线的国家里，人们绝不会为此感到羞耻。历史是这一切最好的佐证：我们有过“遂令天下父母心，不重生男重生女”，也有过“读书无用人”，时至今日则发展为“读书改变命运”，这就是中国人，永远不屑于去追求高尚，永远佝偻着，垂着高贵的头颅抱残守缺，藏污纳垢，几千年来一直被捆绑在耻辱柱上。记得当年我念高中的时候，前两年十点半之前就睡了，高三十一点半也必须睡了。我无意为自己争取些什么，因为那时候的我没有梦想，没有任何一件事情是自己真正喜欢的。像高考这样功利的活动，我不可能为之牺牲身体。后来我知道了数学，那种发自内心的爱使我的努力根本不需要任何理由和动力。完全自发地，我会看书到凌晨一两点，会在必要的时候牺牲身体···这些都没有任何目的，这些仅仅是我生活的一部分，心甘情愿，绝不后悔，更没有想过要“改变命运”。所以我能够体会到那些嗷嗷待哺，改变命运的低等人有多么可悲，日复一日，像一台笨重的机器，丧心病狂地损耗着自己的每一个零件，只为成为土著眼中畸形的精英。我们不要这样的精英，这样的精英无一例外都是低等人。以前在无锡一中的时候，老师总喜欢叫那些每次考试都是前几名“准精英”人物来介绍改变命运的经验。有一回是一位骨瘦如柴的女生，她的身材跟笔杆毫无区别，脸庞消瘦而憔悴，镜片背后的双眼放射出诡异的光芒，逼人的霸气让人联想到伟大的德国元首。在我的印象当中，她只有一种生活状态，那就是学习；她只有一种观点，那就是中立。因为读书改变命运，辩证法适应社会，她自然成为了大家心目中神一样的存在，只有我一直对她心存畏惧，遇到总是尽量躲开，在我看来自己的处境就像个特务。学校确实一直视我这样不思进取，整天传播“反动思想”的问题青年为特务一般的存在。隔三差五我就会被循循善诱的老师叫出去谈话，因为我总是不屑于考到平均分以上，那是我一辈子最灰暗的经历。依稀记得元首那次讲到学习时间的安排，似乎她从小就喜欢写个什么时间表，然后按照表格上规定的方式运转自己，从而达到产量和生产效率的最大化···实在是太恐怖了，我每次都不忍卒闻。最后她说：总之，每天的学习时间不能少于6小时——这对当时的我来说就是天文数字。更为重要的是，我为什么要为自己不喜欢的事情付出6个小时呢，就为了改变命运？在我高中的三年里我不断思考这个问题，却始终没能想明白，所以我从没有按照元首的话去做。后来我知道了数学，再后来6个小时不是上限而是下限，后来我甚至一天看过16个小时书，只用一天就看完一本200多页的书并且要点全部记住···我第一次知道原来人的能力可以这么强大，读书改变命运可以这么容易···然而当我发现这些的时候我早就不想改变命运了。我并不后悔，很庆幸自己没有在懵懂的岁月里失去尊严和操守，从而现在可以毫无顾忌地谈论那些读书改变命运的低等人。我想这些年我终于能够因为纯粹而在人生道路上做到一以贯之，这是一种极为畅快的感觉，因为内心不必容纳污垢，良知不会蒙上尘土。本来无一物，何处惹尘埃？人们对于一本二本的争论以及对于二本学生的刻意关怀本身已经体现了中国人肮脏扭曲的价值观，这种根深蒂固的价值观包括读书改变命运，包括成绩好的同学是精英，包括二本学生必须去做平凡人，包括平凡就是平庸，包括平凡的人不能拥有梦想，包括为父母可以放弃梦想，包括要向这个屎一样的社会下跪，妥协，包括社会不能被平凡人改变···这些观念，这些在老迈无知的上一代眼里根深蒂固的愚昧价值观，毫无保留地出现在这篇文章里，这些观念在中国社会的受欢迎程度是可想而知的。不过，从逻辑上看，这些无异于隔靴搔痒，撸管自慰的文字是不能改变这个社会的积习的，然而人们却不断满足、陶醉于这类不思进取之中，这就是鲁迅所讽刺的“精神胜利法”吧。我想我的友邻里有很多早慧的小孩，他们一直很努力地追求知识，却不是为了改变命运，因为他们很小的时候就确立了自己的梦想，这样的孩子是我所羡慕的。还有一些同学，他们也许因为个性，也许因为不能适应这个荒谬的体制，并没有机会进入自己理想的学校，没有机会学习自己喜欢的专业，可他们坚定不移，就算要付出千万倍于常人的努力也没有丝毫的妥协和动摇，这样的人是我所仰慕的英雄人物。这些人的经历，这些人带给我们的清新和纯粹，告诉我们一个永恒不变的真理：任何人都有拥有自己梦想的权利，读书绝不是为了改变命运，平凡不必沦为平庸。用这样的纯粹之心去对待生命，所谓本一本二其实并无区别，所谓的精英、屌丝根本不应该用中国人传统的，利益至上的价值观来判断，所谓的平凡并不意味着平淡庸俗，而是还有一颗不屈之心在燃烧，还有一个坚定的信念在产生无穷无尽的勇气。这样的勇气正在这个功利庸俗、愚昧不堪的时代发出自己的最强音：我们必须去改变社会，我们一定能够改变社会。
你爱的那个东西不叫学习，而是那种成绩好的感觉。真正的爱学习是无视成绩，无视考试，把所有的精力都花在纯粹的学习上。你所谓的爱学习和真正的爱学习的区别，就跟那些战狼以为的爱国（实际上是想要那种大国赋予的自豪感，为此即使他们自身已经卑微如尘土，扭曲如蛆虫，依旧沉浸在那个虚幻的自豪感里）和真正的爱国（真正关心这个族群未来的命运，关心它是否能融入人类的大环境，是否能回归普世价值，而免遭灭顶之灾）的区别。
在现行中国教育的体制下，如果你是100%的爱学习，而不爱成绩带来的虚荣心，那是绝对不可能一路都走得很顺利的，更不可能在真正进入研究环境之后，还察觉不到整个科研环境和体制的险恶。如果你一路走来，都是一种小白的状态，那你二十多年就没活明白。
我记得当年在豆瓣的时候，身边有很多对数学感兴趣的人，他们中的大多数都不是数学专业，因此直接申请国外的研究生院就比较困难，只能通过考研开启自己的数学生涯。这些人对学习都很感兴趣，却往往不愿意去应付考研那些刻板的需求，因此结果基本上都不太好。真正学过一点现代数学的人都知道，考研的那些题目，距离真正有趣的，美妙的数学，差得实在是太远太远了，以至于你准备这种考试的时候会有一种强烈的失落感。我个人从来没有经历过考研，但我也得应付每个学期的期中和期末考试。当我从真正的数学里把自己强行拔出来，逼迫自己在考前那几天面对苦涩无味的教材和习题的时候，那种痛苦和失望，是我再也不愿意重复的。何况考研的人需要经年累月的准备，这种考试对人青春的消耗，精神的摧残，创造力的扼杀，实在是很不人道的。
当时豆瓣上和我经常互动，而又热爱数学的人，在我看来他们都是真的爱学习，学得也很好，但这么多年过去，能真正坚持下来，并且实现破局，让自己未来的道路开始变得豁然开朗的，似乎只有我自己。而我的起点，却是他们之中最低的。这个所谓的考研制度，似乎非常成功地把那些真正爱学习，真正纯粹，富有热情的人给排除出去了，留下的是一群三心二意，虚荣心强，又乐于妥协的人。换言之，这些人都是生存的强者。但人类中最接近真理的，往往是那些生存能力很弱的人，比如Grothendieck和Sato。
所谓的科研并不是什么独立于学习的活动，而应该是真正高质量学习的延续。我相信一个真正热爱学习，像Faltings那样高中就沉浸在EGA中的人，根本不需要刻意去着眼于所谓的“科研”，就可以自然而然地在学问成熟之后做出好工作。而我们现在的体制，却是强行地把二者分离开来，考研似乎成了高考的延续，为了考上研究生，你必须为了考试而学习，从而培养了一大批对数学本身一无所知的“数分高代控”，而考上了研究生之后，扭曲的学术环境又逼迫你一头扎进一个毫无前途的小方向，拼命替导师打工，以致年轻人认为这种毫无思想性和创造力的机械重复就叫做“科研”。这样一来，真正爱学习的人当然就没有机会做研究，而自以为爱学习的人一方面离真正的学术研究万里之遥，另一方面还在奇怪自己为何适应不了这种充当廉价劳动力式的所谓“科研”。
我记得我刚到伦敦的时候，发现我导师经常带着一本书，有时候是Kashiwara - Schapira的Sheaves on Manifolds，有时候又是Loday - Vallette的Algebraic Operads，涉及的领域非常之广。他说自己喜欢读书，并经常推荐我读一些好书。前两个月他说自己在学导出代数几何，最近又说自己在学数论。在我看来，学习和研究是融为一体，互相促进的，并且也只有建立在不断吸收新知识基础上的研究才是真正的研究。但据我所知，现在国内的大多数所谓导师，都是掌握了一门技术，就不停地用它试各种问题，一直钻在一个小方向生产垃圾论文。时间一长，这种没有任何发展性的所谓研究自然会和新知识的学习对立起来，自然就成为了毫无营养的打工，这些导师也就自然会对因为一路受他们蒙蔽而一无所知的你说：“学习是一回事，研究是另一回事。过去成绩好没用，读研之后要从学习过渡到科研，而这个过程是需要适应的。”这种庸俗的观点背后，低劣的不只是境界，更是人格。
取决于你对天才的定义。要是不笨就能叫做天才，那数学确实不适合蠢人。做数学研究智商不能太低，这是众所周知的事情。但是像某些人那样把智商不低的人都叫做天才，或者直接称之为神，则是令人厌恶的。何况数学研究能力虽然与智商有一定相关性，但其他方面的能力也很重要。比如有些人英文太差，写个文章挂arxiv居然连标题都有拼写错误，或者对于写得复杂一点，涉及的idea多一点的数学文章就不能理解，只能理解那些最简单的文字，做些笨重的工作，这毫无疑问限制了他们的研究。以前的黄渝就是这方面的例子，他的英文差到听不懂数学问题，因此在qualify的时候答非所问。这样除了数学之外别的方面一塌糊涂的人显然不应该继续推崇，更不应该称之为天才，反而应该作为反面典型。他在数学上虽然有热情，最终却一事无成，英年早逝，其情可悯，但不可否认也是咎由自取。如果把这样的人作为天才来崇拜，这只能祸害更多的年轻人。尤其是现在的数学研究更多地依赖于交流与合作，只要没有学术舞弊行为，这样的交流合作是非常值得提倡的。我个人针对具体的数学问题和人讨论也是知无不言，因为要想发展数学，不能老想者自己要刷多少paper。有许多想法我没有时间去实现，那就留给感兴趣的人去做，这样才能更好地推动数学的进步。
现在有些人，动辄X神，X天才，我个人觉得非常恶心。在我看来，数学历史上的天才不能说没有，但也是屈指可数。大家都公认的天才，大概就是Grothendieck，我觉得Deligne也是天才，所谓的天才近世以来大概也就是这两个了。而大多数被认为是天才的数学家，据我观察好像没有在智力上表现出什么惊人之处。比如Donaldson，这学期我听了他很多次课，得以近距离观察，他遇到问题也是要慢慢想来的，有时候还会出错，绝不是一蹴而就。但是他在思考上比一般人勤奋，又能耐得住寂寞做很多琐碎的计算，对于数学的眼光和品位也超过一般人，所以才有今天的伟大成就。再比如Bott，当年他被称为Harvard反应最慢的教授，其他教授讲课飞快，很难听懂，只有Bott的课慢条斯理，大家都听得明白，所以很多学生都愿意跟Bott念书，这导致他培养出Smale，Quillen，Macpherson等杰出学生，再加上自己在拓扑上开天辟地的成就，对数学的贡献是无比巨大的。
有些人目光短浅，某某得了个fields medal，就是天才，甚至得了个什么竞赛奖，就成了神了，甚至还叫我去以他们为榜样。某些无知之辈可能连Bott都没听说过。眼界狭隘，不知道谁才是真正的大师，只知道一些世俗的荣誉，有这样的人在就是对数学的祸害。任何所谓对天才的崇拜都是对数学的祸害，何况大多门外汉只知道用世俗标准去衡量人，崇拜的根本就不是天才。既然要给自己找个榜样，为什么不去找一些真正的大师呢？
历史上的许多大数学家，都不是靠智商取胜，而是默默耕耘，用一生去改变一个领域的面貌。这一点在日本数学家身上表现得尤为明显。Oka和Sato都是大师级的人物，但是他们一辈子遭遇坎坷（尤其是Oka，可能和张益唐有一拼），正式发表的文章不过十几篇。虽然每一篇都是经典之作，但这些工作大多数也没有发表在现在人所盲目推崇的那几个大杂志上，而这些工作的重要性直到他们晚年才获得承认。现在国内总喜欢报道XX又发了篇Annals，Invention，好让大家去膜拜，这是非常恶劣的炒作行为，会使年轻人价值观变形，不再追求数学本身。
有许多人，经常在我这里骚扰，举的例子无非就是些丘赛获奖者啊，发过Annals的人啊，青千啊，甚至princeton的phd啊···我想还有那么多大师级人物的工作我还没有学习，至于这些阿猫阿狗我简直连记住名字的时间都没有，更不要说去眼红了。希望大家能把目光放长远一点，定的目标高一点，那种看到一点世俗利益就按耐不住的人是做不了数学的。
我认为应该看一个人对数学有没有自己的想法。当然，前提是想法要make sense。
据我所知，数学圈的不少所谓优秀的年轻人，他们做的所谓的好工作，都依赖于从大牛那里得到的idea。大牛的学生们当然首先受益，但那些擅长交际，和大牛关系好的人也能偶尔钻空子，借来一些idea，并写成文章。这种做法对于学者而言实在是过于猥琐。我不是不能那样去尝试，但是我对别人的idea有一些天生的抵触，哪怕是自己的idea无法得到主流圈子的承认，我也要坚持实践自己的想法，因为这才是带有自己烙印的数学。那种用别人的idea写文章的人，从一开始就失去了自我，他们已经输了。伟大的数学家不会真正看得起一个只能亦步亦趋follow他的人。
我来伦敦以后做的工作，正在做的工作，和将要做的工作，其中不少idea在我来伦敦之前就已经有了。但我当时技术水平不行，也没有研究辛几何的条件，所以很多想法都是凭感觉，不知道怎么carry out。当然，我借鉴了不少人的工作，比如我导师之前的工作和Seidel的工作，Segal和Keller在代数上的工作，但是能把他们的工作结合起来变成有意思的数学，这是我自己的想法。来伦敦以后，我导师告诉了我很多idea，且还在不停地告诉我新的idea，这些idea大都可以work，有的我已经check过一些例子，但结果还不够多，或者没有让人眼前一亮的应用，所以暂时不会也没时间把它们写成paper，等postdoc期间再说吧。
许多phd学生甚至postdoc至今只能做自己导师给的问题，只跟自己的导师讨论数学，而看不到外面的大千世界，没有自己的蓝图和远略，看不到自己导师在数学风格上的局限性···这些都是loser。在我看来，这就是平庸，这种人就没有天赋。
如果数学天赋是智商可以决定的，那么Tao的贡献必然能够超越Bott，后者是出了名的反应慢，但实际情况如何呢？智商过高，很大程度上会阻碍在数学上的天赋。因为想问题太快，就容易浮于表面，而失去深刻性。世界上智商高于Tao的低能民科也不是没有。Tao能取得一些成就，恐怕还得感谢他踏实的性格弥补了智商过高的缺陷。可惜世俗世界的评价标准始终摆脱不了对智商的依赖性，也没有几个人能客观看待Tao在数学史上的实际地位。
但要看出一个青涩的年轻人在数学上的想法是灵光乍现，还是拼凑名词，恐怕本身就需要有卓越的眼光，这不是知乎诸公可以胜任的，这样的人在世俗机构里本来就没有多少，而用数据作为指标是相对容易的。这就是为什么近年来数学圈突然多出这么多鼠窃狗偷的土著，而真正的人才往往连主流圈子都无法进入。
适不适合不是能不能考好说了算的。据说Donaldson当年因为考试不如某些人没能做Atiyah的学生，跟了Hitchin。但Hitchin很快发现，以自己的水平根本指导不了Donaldson，所以又把他推荐给Atiyah。当时，Atiyah有个女学生，当初总是考第一，但Donaldson博士一毕业就得Fields奖了，而那个女生却泯然众人。
况且适不适合学数学是一回事，要不要去学是另一回事，人生要听从自己内心的选择。以我的天赋，如果做自己擅长的事，富贵早就来逼我了，但我不在乎。我就是要证明，就算是在自己最不擅长的数学上，我也能做到世界顶尖水平。这本身就是一种人生的艺术。
你说你初三没学过高数，我在大一之前都没学过，后来还是从别的专业转的数学。反观啃老民科Strongart，初三开始学的微积分，高中还学了泛函分析和抽象代数，现在如何啊？读书不在早晚，在乎天赋如何。关羽读了一辈子书，却只知道《左传》；而吕蒙半路出家，没过几年，学识就令鲁肃大惊失色。只有笨鸟，才会在乎自己有没有先飞。
想做就去做，不要听知乎的庸人们乱嚼舌头，大多数人连我都不如，还妄想指导别人成为数学家或物理学家，哼，哈哈哈哈！
如今提问者正值青春年华，一个少女最好的时代，就应该多去欣赏生命里那些美妙的事物，不要去想那些烦心的事。我进大学读了半年才突然想起要做一个数学家，于是才转到数学专业，从0开始学数学。一开始连线性代数都学不会，如今还不是混到了这个地步？哼，哈哈哈哈！
年轻的时候就应该去欣赏美，读一读美妙的文章，写一写诗赋，思考一下人生的道理。我建议你读一读《西方哲学史》。多了解一下外面的世界，它要比你所知道的广阔，宏大得多。当然，等你老了，也会意识到其中的丑陋。但这些不是你现在要关心的。
我真想回到你的时代，一个我能够肆无忌惮做梦的时代。当时的我，丝毫也不喜欢数学，更厌恶那些用来应试的学问。在那段时间里，只有美妙的诗词文章才能给我一点安慰。我当时的梦想是做一个诗人，成为一代大文豪，而我的老师们也对我怀有同样的期待。
这个世界上最美丽的生命莫过于少女，而少女最好的年华莫过于十几岁的中学时代。应该顺其自然，不失本心，尽量不要去沾染世间的浊物。有许多恶心的人，十几岁的时候就为了高考竞争，天天勾心斗角，熬夜苦读，假期天天上辅导班，搞竞赛···就像那些马路上破衣烂衫捡垃圾的老大爷一样，整日奔忙，忍受着非人的生活，以为自己可以抓住些什么，实则只捡到几片轻浮的垃圾而已。这几片垃圾就是清华，就是北大···就是那些所谓的名校。这样的人就算能研究数学，心智也大都不会太健全，不会有什么作为，无非是前沿的一片炮灰罢了。
希望你把握住自己的青春岁月，不要随波逐流，更不要听信那些充满世俗之气的愚见。唯有如此，才能获得内心的平静，保有天真无邪之初心。属于少女的初心，本身就和真理一样珍贵。
到了二十多岁的时候，你就要承担起这个时代赋予的重任了：坚持正义，追求真理，不与小人同流，这些责任都很沉重，我时常觉得疲惫不堪，但又别无选择，因为它们是君子职分之所在。如果你在承担这些责任之前，就失去了健康的心智，让世俗和功利污染了自己的灵魂，就算能在世俗机构取得一个空有其表的位置，难道还能成为数学家或物理学家吗？就算肮脏的现实世界能藏污纳垢，纯粹的精神世界也绝不会容纳你。
尽量别去上课。国内大多数教授的水平都有疑问，他们对数学的理解大都是错的，讲的课往往讲不到point上，听多了容易导致对数学内容产生误解，对于形成对数学正确的审美和看法没什么好处。而且假如数学系那些老家伙给你兜售一些世俗愚见，可能还会影响你在数学道路上坚持下去的决心和勇气。我本科时候就受到过很多摧残，好些教授都跟我说做数学不挣钱之类的屁话，妄图叫我放弃。所以我本科时候基本不去听课。
尽量别做作业。数学系那些老家伙大都是些庸人，他们布置的题目大都是给那些能力不济的人练习的。如果真正有志于做数学，就不要浪费时间去做那些无聊的问题，多学点真正的数学。假如非要做习题，最好是考试之前迅速过一遍，不要把太多时间浪费在研究作业题上。Rudin后面的习题还可以做一做，但是有些东西你学过的东西足够多以后自然而然就知道本质是什么，这时候也就trivial了。毕竟学数学的目的是要让数学对你而言像语言一样自然，你可以脱口而出，还要做习题意味着你和数学没有融为一体。所以我本科时候基本是靠抄作业混过去的。
尽量少参加集体活动。要知道，数学系的同学大多数都是喜欢凑热闹的肤浅之辈，他们也根本就不想继续在数学上钻研。当你静心沉思的时候，他们往往喜欢找些无聊肤浅的话题来打扰你高尚的精神活动，让你忍不住要骂他们SB。为了同学之间能和睦共处，最好少跟这些人接触。这些人有个特点，就是特别喜欢参加集体活动，只要你不去上课，不参加集体活动，就可以顺利规避他们对你的打扰啦！我当年就是这么做的，我毕业的时候大概只能叫出班里一半同学的名字。我每个学期参加的唯一集体活动就是去考试。
多跟志同道合的人自习。还是要有人鼓励你，跟你有相似的学术追求，这样你才会更有动力在孤独的道路上走下去。如果是同一个专业的同学，一起讨论学问还可以共同进步。我当年就没什么志同道合的同学，唯一一个跟我一样想申请出国的人是学物理的，但是我们还是一起度过了一段值得纪念的岁月。他现在去了马里兰，我在伦敦，都得到了满意的结局。
多在图书馆自习。既然不去上课了，那么每天都是假期，就可以天天去图书馆享受人生了。多去图书馆，累了就看看世间百态，或者学一学哲学，文学，历史这种有深度的精神层面的学问。毕竟，做数学最好还是要有国学修养和审美品位，这对你未来的数学品位有很大的影响。否则，就算你很聪明，数学做得很好，也只是大老粗一个，技术上虽然厉害，境界和风度上可就差远了，这就失去了在精神领域工作的学者所应该具有的人格魅力。今年我给了两个talk，题目叫Geometry of the Andalusian dog，大多数人都不知道这是什么意思。这样一来，我一下子就显得很酷。
有人肯定要说，我的这些建议extremely biased。然而我认为这些建议至少算不上误导：假如真的照做了，绝不会导致数学水平的下降，只是不容于世俗世界罢了。然而伟大的人物在于拥有自己的精神世界，庸人俗客的评论又何足介意？最重要的是，这么说我快乐。至于你们看了快不快乐，就不是我要考虑的事了。
想要有进展的关键是知道很多问题。你看很多大数学家都很潇洒，今天研究这个，明天研究那个，其实并不是因为他们研究的成功率比你高很多，而是因为他们知道的问题是你的数十倍，甚至数百倍。在相同的成功率下，他们能做的东西当然比你多得多。
大多数研究生都没有自己的问题，只能靠导师给问题。假设你导师给了你两个问题，而以你的能力研究的成功率是10%（这个成功率当然也取决于问题是不是靠谱），那么在理想情况下（假设独立事件），你顺利毕业的可能性只有19%。
现在假如你努力去学习其他方面的数学，尽可能多地了解和你所研究的领域有关的学问，了解别人关心哪些问题，并且自己能够提出新的有趣的问题，那么很快你手头的问题数将膨胀到20个以上，而你顺利毕业的可能性也会增至88%。
那些牛逼的数学家脑子里有成百上千个问题，不停地想，总能找到一个可做的，所以不出意外的话他们总是有paper可写。那种拿着一个问题，拼命硬做的人是没有出路的。假如你导师给你的问题是Hodge猜想，难道你也要去碰个头破血流吗？一代人有一代人的技术局限，我们要做的是尽量延伸我们能研究的问题的边界，而不是一下子跳到无穷远的地方去。即使是Wiles，他要实现自己10岁时的梦想也等了23年，在Ribet的工作之后才确信有希望证明费马大定理。
当然，那种两个月就能做出来的便宜问题也是不值得写成论文的。我导师经常告诫我不要做小问题，而我的节奏也就是保证每年写出一篇新文章。想要找到很多既在当前能够被解决，又不至于trivial的问题，就更需要你时刻关心你的同行在做什么，甚至别的领域的人在做什么，你看过的paper跟你关心的问题有什么联系，过去学过的东西能不能用到新问题上等等。如果你对自己领域的学问体系都不清楚，那说明你根本就没有勤于思考，还是在数学上下的功夫不够。
一般来说，应该先去了解整个领域的体系，哪些人大体上做了什么工作，这些工作大致是用什么方法，什么工具做的。对这些如数家珍之后，你就能自己提出问题，找出解决问题需要的技术，然后再去仔细阅读那些已经有大致印象的相关论文，学习这些技术，这样就能通过推广或借鉴的方式用到自己需要的情形。
现在许多人的问题是对数学很陌生，甚至对自己所在的领域都很陌生，连第一步都没有做到，却在抱怨做不出问题。
我不同意某些人的说法，所谓的数学功底并没有什么统一的标准，至于要转化成论文和生产力就更是功利之言。Oka和Sato一辈子只写十篇文章，难道他们的数学功底不行？Kontsevich也很少写论文，而且很少严格证明定理，难道他的功底不行？
学数学，最重要的就是要快乐。只要是花了足够多的时间，无论你是一直憋在屋里做习题，还是满世界跑参加seminar，都能够在某些方面达到别人不能企及的水平，这就是我认为的数学功底。反之，如果你不愿意花时间，心思都在别的事情上，就算你到处抱大腿，写paper吃饭，我也没办法尊重你，因为你毫无功底可言。
不少人老喜欢讲要解决问题，还是什么前人未知的问题。这些人应该扪心自问，你们解决过这样的问题吗？古往今来的数学史上，又有几个人真正解决过一些有意思的问题？某些人嘴上说要解决困难问题，私底下加了一堆没办法验证的假设，或者改了几个系数，就和两三个不知所谓的人粗制滥造了几篇文章发表，还美其名曰解决了问题，转化为了生产力，实在是太可笑了！这就是你们所谓的功底？
据我所知，大多数人解决的所谓问题，专家essentially都是知道怎么做的。非要写篇文章发表，只是为了满足吃饭这个需求而已，根本就谈不上对数学做了贡献。自己都不能做到问心无愧，却大言不惭地教育年轻人，要多解决问题，多写paper，转化为实际生产力，真是看不下去。
你们去Youtube上找几个Kashiwara或者Siu给talk的视频，看看什么叫数学功底。那么复杂的数学，他们左手插口袋里，右手用粉笔写黑板，什么参考材料都不看，行云流水般讲出每一个细节，而其他人连听懂的能力都没有。什么时候数学能做到完全沉浸在自己的世界里，什么时候也就算有了数学功底。整天考虑怎么发paper，那都是屌丝吃饭那一套，说白了就是能力差才只能搞点商业活动，还谈什么功底呢？
和某些人的回答中所说的情况不同，我到了伦敦之后基本没有遇到孤独的情形。除了导师之外，我还跟好几个人讨论，比如Schedler和Casals，他们真是很好的人。我导师是Royal Society的research fellow，水平自不必不说，更重要的是他的数学兴趣，从低维拓扑到代数几何，几乎每个方向都懂一点，可以说跟我的风格非常一致。Schedler是非常非常nice的学者，也是表示论上最顶尖的年轻学者之一。我每次去找他讨论，他反而说跟我学到了很多。我说一些数学的时候，他甚至还记笔记，但是我水平低劣，觉得很不好意思。Casals也是如此，他把我们讨论里遇到的问题都记下来，放在gmail的共享文件里，如果谁有一些idea就可以上去补充一些detail。之前他在美国的时候，也视频讨论过。我没有经验，但据说应该算是默认合作吧。我只是平庸之辈，何德何能，在这里竟然能受到这样的待遇和尊重，这是我从前想都不敢想的。除此之外，还跟Lotay，Panov，Evans等人偶有交流，虽然不一定是数学，但这些人大都很有趣。
而且伦敦每个星期有辛几何的seminar和几何拓扑的seminar（还有数论seminar以及一些主要报告经典内容的junior seminar，但由于工作繁忙，我甚少参加），经常能请到兴趣接近的优秀学者。比如Polischuk，Treumann，Wemyss，Sibilla等等，这些人在各自的领域都做了非常出色的工作。Seminar结束以后我们一般会一起去酒吧，一起吃饭，这让我结识了不少人。
我去年把自己的新paper贴出来之后，去de Morgan House参加了一个mirror symmetry的conference，结果好几个人过来恭喜我，跟我讨论数学。我的工作终于开始被人关注和欣赏，终于融入了圈子而不是在一个令人绝望的孤岛上独自奋战。后来我去Cambridge，去Kent，Sheridan和Sibilla都注意到了我的工作。一般来说，我是不好意思主动去说自己做了什么什么的，都是对方提起说最近好像有个人写了某某paper，very impressive，是不是你？我想，只有享受到热情而不是单纯体会到孤独，学术生涯才算是真正开始了。
承蒙知乎某前辈邀请，今年春天还要去美国一趟，由是感激，希望能学到新东西。我觉得现在的状况算是学者的常态。但这只是个开始，我一定会做出更漂亮的数学。
我当年读本科的时候，常常一个星期都不和人说一句话。毕业的时候，认识的同学连一半都不到。当时根本想不到能有今天的幸运。独自工作的时候享受孤独，跟人讨论的时候享受欢乐，这本身并不矛盾。Grothendieck当然是孤独的，但Atiyah也有自己的孤独。
与那些其他都不会，不得不做数学的人相比，我的情况大不相同。可以说，我除了理科，其他方面的天赋都不错，只有数学对我而言是最难的。
我从小学开始就因为作文好受到推崇和关注，在年级里出名，参加辩论和作文比赛，到高中时候在省里得奖。那时候我们高中很多年没人拿那个奖，然而我得了奖之后却没得到任何重视，连个喜报都没有，就是语文老师在课上说了几句公道话。而有些人理科竞赛哪怕是得了个三等奖，他们也要大肆炒作一番，实在是很不公平。当时所有人都觉得分科选物理化学是牛逼的，而学文科说明智商不行，是不得已而为之，可以说价值观就很扭曲。我这个人又心高气傲，非要跟老师对着干。当时所有老师都劝我转文科，因为转文科我的优势实在是很大：作文不用说了，语文也经常得高分，历史甚至经常接近满分，英语也不差。你想想我一个学数学的，自从看了一些英文原版数学书以后，不出国就能提升英语水平，把托福作文考到29，我觉得自己还是有点天赋的。我到今天没有严肃学过语法、词根和词缀，我都是凭感觉，用多了说话写文章就流畅。当时有个跟我情况类似的女生转了文科，后来考上清华，现在貌似在外交部吧。
但是因为我心高气傲，不愿意承认自己在任何一个方向比别人差，所以非要选物理化学。但是我又阴差阳错进了尖子班，所以经常在物理化学上考出低于平均分的成绩，数学稍微好点，这对我的信心造成了很大的打击。其实当时我不知道他们都学习到很晚。因为我从小学就养成了晚上8点半睡觉的习惯，到了初中就9点睡觉，高一高二基本上都是9点半睡觉，高三到10点或者10点半。所以这些年下来比别人学习时间少很多。再加上我喜欢打游戏，就更没时间应付那些破玩意儿了。其实我只要是花点时间，还是能取得很好的成绩，我记得自己五门课（语数英物化）都考过班级第一，但是只有一两次，大多数时候都在梦游。高考发生了严重失误，否则虽然上不了清北，考个南大还是有希望的。我这么说是根据模拟考试的成绩。
高考失利以后，我更坚定了自己要在理科上有一番作为的想法，再加上对数学有兴趣，所以果断转到了数学专业。我觉得一个人只能依靠自己最有天赋的方向吃饭，实在是很低级的。我就是要在最没有天赋的方向上证明自己还是比绝大多数人厉害。这种人生本身就比较刺激。
再接下来的事情许多人就算不全部清楚，也知道大致脉络了。其实我去年很想要quit，因为看不到希望。这种绝望大部分来自于对华人数学圈现实的了解。但是我想网上认识我支持我的人太多，我绝不能让别人失望。我本科有个很善良的老师也曾经鼓励过我，她对我的恩情我直到今天也没有忘记。许多时候非要强调自己多么喜欢数学，所以坚持下来其实很假。我在最困难的时候并不是有什么内在的对真理的热情驱使我（因为我已经过了那段最激情澎湃的岁月了，开始了解一些冰冷的现实），而是不愿意让那些帮助过、支持过我的人失望。而且因为我有一定知名度，若是半途而废，会给许多人造成负面影响。我想只要我还在坚持，对有些人就是一种鼓励和鞭策。虽然我暂且没有通过数学工作对数学作出什么重要贡献，但是我想能激励一些喜欢数学的人，这未尝不是一种贡献。
我认为这个问题是不清楚的。问题都没问清楚，不知道有些人怎么答的？
什么是直觉？这个概念就很含糊。对于不同的人来说，直觉是不一样的。对于同一个人而言，知识水平不同，直觉也不一样。
原因在于直觉的形成是有前提的，就是你对某个领域足够熟悉，它是建立在知识的基础之上的。只有你的知识积累到了一定程度，才会有一些正确的直觉。许多大师，做数学都不证明，那么他们是怎么判断什么东西对，什么东西不对的？就是因为他们通过自己的努力形成了正确的直觉。假如你什么都不会，概念都没有搞清楚，怎么可能产生直觉呢？
假如你没有深刻了解过一个领域，就像一个婴儿刚刚来到这世界，那时候你没有什么直觉。假如在那时问你球面上测地三角形的内角和是大于呢，还是小于，你能轻易答上来吗？当然不能！你之所以能形成这个正确的直觉首先在于你学习了相关的几何知识，其次在于你在脑子里做了一次实验，也就是说你真的测试了一个测地三角形。因此，直觉的形成至少有两个要素，就是知识和例子。
知识和例子，它们都要通过持续的学习才可以掌握，绝不是与生俱来的。你认为一些基本的数学和物理好像通过直觉就可以理解，原因在于你已经学习了相关知识，见过了相应的例子。所以当你学到一个新的结果，你很快就能反应出来有哪些类似的知识和相关的例子，从而很快convince自己这是对的。
因此，我认为每一门知识都有相应的直觉，而这些直觉是通过学习来获得的，并非与生俱来。从这个意义上说，数学从来没有超出过直觉的范畴。有了直觉，才会有猜想。这就是为什么提出重要猜想的大都是senior的数学家，或者说一个领域的专家，而那些基础知识都没学会的人是不可能提出任何靠谱的猜想的。这也解释了为什么懂detail的人在数学上才会有一些好的idea，而那些基础不牢的人看了一些文章的摘要就提出的所谓idea，绝大多数都是错的。
我觉得提问者说的话很low，什么叫“靠自己的本能去解决问题”？我觉得人类的本能更有可能是做爱而不是解决问题。什么叫“从根本上掌握”？什么是根本？我觉得某器官才是男人的根本。你这就是典型的老学究思维，整天问本质是什么不累吗？我现在听到一些老生常谈就很烦，因为这些问题没办法辩论得清楚。所以不要整天考虑是不是从根本上掌握了，掌握到自己满意的程度就可以了，因为无论什么知识你总有一天会发现你根本就没掌握。
楼上有很多胡说八道的回答，主要意思是叫你刷题，典型的中国人思维。中国人有一种数学题崇拜，觉得数学题是神圣不可侵犯的。然而我跟他们不同，我不是什么体制内的人，所以与他们的观念多年来一直有根本的分歧。我觉得无论你做不做题，只要有效的学习时间积累到一定程度，有些东西总会慢慢理解，直觉迟早会形成的，跟做不做题没有关系。你做题是在想数学，看paper不懂把它想通就不是想数学了？我觉得后者的效率可能还更高一点。中国人做什么都是蛮干，一不怕苦，二不怕死，你以为这样你就能出人头地？恐怕当炮灰的可能性更大吧？此外，你能找到习题的数学知识大都是基础知识，好像还不算高深莫测，脱离直觉？假如你哪天做研究了，没有习题可做了，那么按照某些人的思维就只能叫导师给问题了。可是受制于人未必是好事，尤其是许多中国人的人品恐怕不能信赖。如果志存高远就应该去做属于自己的数学，让自己的风格去影响数学，开创新的领域，何必要屈居人下，去做一名搬砖工？反正那样的生活我是忍受不了的！
中国人真的有太多陈腐、僵化的思维需要去改变了。这些糟粕不清除，中国永远也不要想成为数学强国。
取决于你对内容的熟悉程度。我读完baby Rudin用了三个星期吧，但也是有些章节快，有些章节慢。最慢的好像是第十章。读big Rudin的时候就慢多了，因为思考问题的层次不同。能够顺利把big Rudin读下来，真正理解，读懂Stein的大部头调和分析也不是难事了。速度不重要。等你开始做研究了，这些都是浮云。
话说有一次seminar结束之后出去老酒老肉，跟Sibilla和Treumann提到了Calderón，他们二人都不知道这是谁，只有Lekili知道有个Calderón–Zygmund decomposition。但实际上他们发展的singular integral理论，在Donaldson关于Kahler metrics with cone singularity的文章中也用到了。真是隔行如隔山。
所以你现在学的东西，今后绝大部分都不会用到。读书重要的是培养对数学的整体性理解。当你有了很好的整体感觉，就能很快地找到相关文献，formulate idea，学习所需要的数学工具，figure out detail，然后完成证明。Deligne在巅峰期的时候，任何领域的文章，只要读完abstract，想30分钟，基本都能把结果重新做出来。假如他30分钟还做不出你所证明的结果，那么你将被邀请到IAS访问。这不是不可能的，这就是对数学的理解。
我好像不能算数学系科班，我是个转专业的，知乎至今还有不少优秀的数学博士认为我是野路子。
据我所知Ennio de Giorgi每年10个月研究数学，2个月陪家人。知乎好像还没有哪个博士能和他相比。关键不在时间多少，在于你在研究的时候倾注了多少精力，以及你有没有在正确的方向上工作。Strongart还天天研究数学呢（他以前博文里说自己大年夜还在看书，录制视频讲座），有结果吗？
所谓的“优秀”，本来就是平庸的代名词，所谓优秀的人没有一个不是庸人。真正改变历史的人是不在世俗的衡量标准之内的，这就是所谓的数据溢出或爆表。
恰恰相反，我每天工作到凌晨4点多。研究数学，心态和那些学霸是不同的。他们主要是追求生活作息规律，活的像个机器人一样，这样一来么，也就能够得到师长的赞许，非常浅薄，难成大器。但只要我一天还在研究数学，身上就有追求真理的责任，非得做出自己满意的工作不可。一日没有进展，便一日不能安寝。何况如今我还没有做出有说服力的工作，只是实现了几个微不足道的小idea而已，实是忧虑。去岁11月以来常常失眠，感觉身体也不如从前了。
如果工作没有进展，心中自是焦虑，愁绪万端，忧心如醉，难以入眠；如果有了些许眉目，又急于连夜实现，有时记起一篇多年前看过的文献，就爬起来查找，一夜之间，反复数次，如此也无法入睡。是进亦忧，退亦忧。
子贡倦于学，告仲尼曰：“愿有所息。”仲尼曰：“生无所息。”子贡曰：“然则赐息无乎？”仲尼曰：“有焉耳。望其圹，睾如也，宰如也，坟如也，鬲如也，则知所息矣。”子曰：“大哉死乎！君子息焉，小人伏焉。”
君子既然要追求“大哉死”，就不要指望活着的时候能享受安逸。我并非不知道晚睡伤身，但如今在实现理想的道路上一事无成，而宵小猖獗，是我无能之过。在精神层面，我学识浅陋，没有做出满意的工作；在现实层面，小人当道，我不能扫清天下。身负二罪，又有什么资格去奢求规律的生活呢？也许我的理想一辈子也实现不了，但奋斗至死也算是解脱。
能，大多数证明都是trivial的，如果你在数学上足够成熟，大多数的命题只需几秒钟就能反应过来要怎么证明，又何须一行行叫别人写给你看呢？我曾经说过，这里还要再次提及，Deligne在IAS的时候，假如他看到一篇论文的摘要，自己30分钟之内想不出来怎么证明该论文中的主要定理，那么论文的作者就会被邀请到IAS访问。对于绝大多数论文，无论什么方向，Deligne都能在30分钟内把结果做出来。学数学也是一样的，如果你先过一遍菲赫金哥尔茨的三卷本《微积分教程》，看到Baby Rudin里的定理还反应不过来大致怎么证明，那么你的学习方法或者学习能力肯定是有严重问题的。我当年看baby Rudin之前，就是因为过了一遍菲赫金哥尔茨的教程，所以三周之内就掌握了。Rudin的价值就是一种对数学理论框架和数学语言的塑造，让你有基本的素养来理解现代数学的思考和写作方式，至于内容，没有什么东西是新的。
另外，所谓的“大学数学”是不存在的，任何跟你说“大学数学与高中多么多么不同”的所谓教授，即使不是纯SB，也一定是庸人。学数学的目的也不是为了“学好”，什么叫学好？考到100分？但考100分的有几个不是学得稀烂的SB？题目都会做？难道你以为课本和习题集里面的题目会做了就什么都懂了？所谓的学好学不好，大学数学与高中数学，这种土著概念早就该被扔进垃圾堆了。
学数学，第一种层次是为了了解这个学科，知道它在说什么，理论的key point在哪里，这种学习停留在欣赏美和陶冶情操的层次。第二种层次是为了会使用其中的技术，知道什么时候该怎么用这些技术和理论。第三种层次是为了研究这个学科，知道什么问题重要，什么问题目前的技术可以去尝试，这个学科整体的框架里是不是还有一环是欠缺的，应该怎样发展相应的理论补上这个空白？一个人要做研究，就需要在不同的意义下学若干个方向的数学，每个方向的掌握程度是根据实际需要来调整的。在第一种层次上掌握的学科，通过短期内的努力，可以很快进步到第二层次；同样，第二层次的学科也可以转化为第三层次。比如Bridgeland一开始研究Hall algebra是因为对Donaldson-Thomas theory感兴趣，但当他成为了Hall algebra方面的专家之后却用它得到了关于quantum enveloping algebra的重要结果：Quantum groups via Hall algebras of complexes。
像这种工作，如果没有那些真正技术娴熟的方向，或者仅仅是个狭隘的熟练工而不去关心其他相关的领域，是绝对不可能做出来的。
另外，习题也没有所谓“计算题”和“证明题”的区别，如果你还要像国内那些土著大学里的猪头教授和土著学生那样，把所谓的“证明题”独立出来，变成一种所谓的对学生更高的要求，那就显得太愚昧浅陋了。做研究的时候，计算就是证明，证明就需要计算，那种只需要几个概念来回倒腾就能完成的证明都是极为trivial的，几行就可以说清楚，在论文里只是由于格式要求才不得不写上两句，而你居然还把这些破玩意儿当个“题”在那里严肃对待，只能说你对数学的理解需要彻底扭转过来。
你现在对数学的理解完全是错误的，你已经深受国内教育的毒害，而我从转到数学系开始，就对土著教授讲的这些屁话不屑一顾，因为我知道他们有多弱智。你现在要做的，就是花时间，多花时间，坚持不懈地花时间。只有把自己对数学的理解提升上去，才不会问出这么幼稚的问题。
我不认为成为名词党有什么不好。我认为每个人都有一些大概知道定义，却没什么深刻理解的名词。而对数学概念的学习，最早当然是从名词开始的。
对于我而言，代数几何上的大多数东西都是一知半解，可是我认为这些一知半解的东西对我而言却恰恰很重要，它们提供了很多做研究的motivation。如果我不知道这些名词，将寸步难行。虽然随着岁月的流逝，我开始对一些代数几何名词有一点点粗浅的理解，但如果我现在转移到代数几何领域，一定还是一个不折不扣的名词党。我在这方面做不出任何研究，但我必须坚持做一个名词党。
古人云：炳烛之明，孰与昧行乎？名词党，总要胜过白纸党。如果是一张白纸，一无所知，那么就连名词带来的motivation和insight都得不到。而且我认为只要知道名词，就意味着希望，意味着未来可能的发展，意味着达到真理的曙光。如果你愿意不断扩展自己在数学上的眼界，让自己所了解的知识的边界更广阔一些，那就不要畏惧成为一个名词党，而且随着你了解的数学更多，接触的新事物更加广泛，将有越来越多的名词你只知大概，却不能做相关研究，但这些知识可能给你新的灵感和启发。因此优秀的数学家不应该畏惧成为名词党，名词党本身代表着一种进取精神。
我认为，大多数中国人缺乏魄力，安于现状，只能在极其狭隘的领域里耕耘。这些人了解的知识大概是10，熟练掌握的部分可能有9；当他们面对一个了解的知识有100，熟练掌握的部分只有20的人，却指责对方为“名词党”，不是很可笑吗？后者固然对于了解的大多数数学都不能熟练掌握，但是其气魄之宏大，眼界之广阔，思维之活跃，却不是第一类人可以相比的。谁在数学上的付出更多，一目了然。而且随着时间的流逝，二者的差距将越来越大。十年之后，第一种人可能还是在那一个小角落里生产垃圾paper，沉迷于那几道数分高代习题，炫耀着自己扎实的数学基础；但后一种人可能就会做出惊天动地的大工作，成为数学历史上不可抹去的一笔。到那时，后者可能了解的知识有1000了，熟悉的部分的却只有100，沦为了更严重的“名词党”，但这个名词党可能就像如今人们众所周知的Atiyah和Kontsevich那样，深刻影响了数学的发展。
如果你对待数学的态度是开放的，包容的，愿意去吸纳自己所有能接触到的知识，那就应该有成为“名词党”的觉悟。问题的关键不在于是否是名词党，而在于有没有自己能确实扎实掌握的知识和工具。只要能扎实掌握的部分不是空集，就没什么可担心的。我想，这样的工具可能不是单纯通过学习就可以掌握的，可能需要具体解决一个问题，做一次研究，才知道其中的要点所在。如果你最初学得扎实，人又不笨，那么可能初次做研究会快一点；如果你像我这样，半路出家，最初学得比较快，不扎实，那么最初几次做研究的时候就要多花一点时间，把不会的东西搞清楚。没有太大区别。
因此，在学习阶段，大概学得扎不扎实都是名词党。你说有人知道很多名词却无法使用，可是就算你习题都做过，考试100分，难道你就用上了名词了？用来考试？用来竞赛？用来获取虚荣？
国内这些写数学分析书的人基本上连教书匠都算不上，就是一群“抄书匠”。国内数学系这些尸位素餐，百无一能的遗老遗少真该好好改造一番了，改造不了就应该清理掉。
证明对于数学而言不是最重要的，最重要的是正确的理解。因此写证明把话说清楚即可，如果能按照自己的理解写出来，只要讲到了key point，都应该鼓励。据我所知，国外正经大学的qualify都是面试形式的，别人问你有些基本结果怎么证明，你是没必要在黑板上一板一眼写下来的，大概回答一下即可。如果你写了很多字，却一直讲不出key point，说明你这个人对数学的理解有问题。如果你没写几个字就把key point点出来了，说明你这人思路很清楚，远远超过那些一板一眼的蠢材。
我记得我初中时候做平面几何证明题，根本就不用数学符号，只是用文字叙述该如何证明，感觉这样很有名士风度。那道题全班只有两个人做出来，而我还因为没有用数学符号被扣掉2分，但我个人对数学的理解方式和风格在当时就得到了充分的体现。
写论文的时候，证明写到多详细为止也取决于你的level。假如你是菜鸟，一般会写的详细一些；如果你是大牛了，大概不写证明，或者说证明显然，也没人敢说你错。典型的例子就是Gromov。重要的是你写下来的结果必须是对的，且整体思路是正确的。只要满足这两条，个人认为就不影响工作的价值。
我建议大家对数学的态度还是要开放一点，否则太扼杀年轻人的创造力了。越是什么都不会的人，越是喜欢在简单的地方死抠trivial的细节，因为这就是他们唯一的存在价值。你不让这些庸人死抠细节，他们活着也没什么意义。其实他们做的事情，跟小学老师叫你每道题都写上“解”“答”之类的无聊行径是没有区别的。
如果你像我一样不在乎考试成绩，那就应该继续发扬风格。如果你不得已要追求一下考试成绩，那就暂且妥协一下。等咱出国了再骂人也不迟。
据我所知，国内导师大都喜欢基础扎实，踏实肯干，又没什么头脑的学生。其实这个问题就好像建设社会主义需要什么类型的人才一样。我就是不符合要求的人才，所以现在用脚投票了。如果你的原始基础不行，那么就没办法马上投入生产劳动；如果基础好却眼光太高，不愿意去做那些导师布置好的问题，那很有可能就没办法在短期内产出论文，如此一来，你对导师还是没有利用价值。如果基础扎实，踏实肯干，又像我这样有很多心眼，有自己的打算，而不愿意受人驱使，那么还是没办法为导师带来实际利益。
国内一些水平高，又有较高道德底线的教授，比如说李文威，好像已经公开宣称自己不带phd学生了。由于我对李文威的数学能力和人品道德完全信任，我相信他是经过深思熟虑才做出的决定。以他的数学才能，拿到国外，不考虑数学圈政治带来的偏见，公平公正公开地评价，不会比许晨阳那些人差的，拿个5年的fellowship也毫无问题。按理来说，绝对是年轻人中的领袖了，不带学生是反常行为。
我想，要去考虑国内导师“喜欢”什么样的学生，本身就不是一个正常的思维习惯。你是去做学者的，不是去做太监的，不需要讨任何人的欢心。导师的任务，也不是给你布置作业，更不是天天指手画脚，而是乖乖在旁边待着，随时准备解答你的具体问题。比如你有一个idea，问问他能不能做，他要说能做，你就放心大胆地去做；他要说不行，你也可以认为他是sb，继续我行我素地去做。
导师是要为你服务的，不是你去为导师服务，服务态度不好，或者提供的服务不到位，令你不满意，那就换掉。应该是导师来讨学生的欢心，而不是学生反过来巴结导师，你们中国人做事怎么老要反着来呢？
导师们，你们敢不敢摸着良心讲一讲：你们收学生，究竟是为了一己私利呢，还是为了学科的发展？若是为了学科的发展，请你们闪在一边，听候传唤，别毛手毛脚，坏了爷们的好事儿！若是为了私利，趁早把话说明白，爷们也好早点找下家。此处不留爷，自有留爷处，处处不留爷，爷去投八路，早晚回来干烂这个体制！
民科你好。博士学位算什么，如今阿猫阿狗，无能鼠辈都能拿个博士学位，甚至是所谓的海外名校博士学位，然并卵，此辈不过是混口饭吃罢了。
Berkeley的Woodin教授是我本科期间联系过的唯一外国教授，我用QQ邮箱问了他一个数理逻辑问题，他很快就回复了。他就是先做教授再拿博士的，而且导师好像就是他自己？
Wittgenstein也是很晚才拿的博士，他拿博士的时候已经是世界上最知名的哲学家了，罗素都甘拜下风，只有替他做宣传推广的份。他找的导师是他的学生。
华罗庚也没有博士学位，陈寅恪也没有博士学位···
然而你有以上几位的才能吗？你能做出non-trivial的工作吗？我一直认为，对于真正想做数学的人而言，学位并不重要，重要的是数学本身。但是学位对于那些只想要找个工作，混口饭吃的人而言，比数学可重要多了。有了这个博士学位，他们就可以去献媚，去讨饭，去出卖灵魂，赚取狗粮。这样的人在知乎要多少有多少。
你能问出这个问题，就证明你不如上述那几位。有时候，虽然表面现象是一样的，背后的本质却有天壤之别。鲁智深也老酒老肉，济公也老酒老肉，但是这两位的心态一样吗？同样的道理：天才也不在乎学位，庸人没能力拿到学位，由于酸葡萄心理也说自己不在乎学位，能一样吗？
而且你强调自己拿不到职称，分明是功利之徒，心术不正。真正不在乎学位的人更不会在乎职称，就像不在乎博士学位的Wittgenstein也视剑桥教授的职称如弊履一样。你没有那个境界，也就不会有那个能力。劝你省省吧，就算你效仿三清剁手，也无济于事。
在中国数学系有一种非常典型的模式，那就是先学数学，再转经济。不少人认为，假如能从数学成功转向经济，他们的饭碗就算是保住啦！不少同学也会向这部分人投去羡慕的目光，认为他们才是自己崇拜的精英。而那些没能成功转向经济的同学则被视为是屌丝，loser。这种现象可真是让文明人笑掉大牙。今天我要讲的是，先学数学，再转经济，这实际上是一种典型的低等人模式。中国人非常奇怪，明明有幸可以走上一条高等人的道路，它们反而觉得那样没有前途，非要从高等人的队列里艰难地爬出来，冲到低等人的群体当中，和同类拱在一起发臭，这样他们的人生才算是圆满了，这实在是一件非常可笑的事。事实上，这样做的动机也不难理解，因为中国人所有的举动都可以descend到同一件事上：吃饭。尽管在绝大多数时候，有饭吃是肯定的，可是由于中国人进化不完全的缘故，即使储存的饭多得一辈子吃不完，他们还是在坚持创造更多的饭，可以说在现代文明中很好地再现了西西弗斯精神。事实上，稍有数学学习经历的人都知道，假如一个人严肃地学过elegant的数学，是绝对不可能看得上那些极为土鳖的经济书的。并且，当一个人从全人类的精神追求中走出来过渡到经济这样的实际问题的时候，心里产生的落差是可想而知的。可是，天朝不少数学系学生还真能违背自然规律，反戈一击，逆转命运，毅然抛弃数学，选择经济，我想这里面的原因就显得比较丑陋了。假如一个人从一开始就真心喜欢经济，那么就应该坚定不移地去做经济学家，这样的人毫无疑问是纯粹的，我也很欣赏这类人。毕竟每个人的喜好不同，我也相信任何一个领域都存在美和纯粹。假如一个人学数学实在能力不济，被迫转向力所能及的行业，这样的人我也可以理解：例如目前在华尔街工作的许多名校毕业生，就是因为写不出论文而没有拿到数学phd。（许多土著非常推崇这批人，实际上他们是能力低下的可怜人，真正能拿到phd的同学绝不会屑于去做那些工作，真正有能力追求真理的人绝不会无聊到把有限的生命浪费在挣钱上。这批人是名符其实的loser，这在美国社会是心照不宣的事实。我师兄的女朋友在哥大学经济，她就曾经劝慰我师兄讲：做不好数学没关系，再不济也可以在华尔街找工作。事实上，她本人甚至分不清连续函数与可微函数有何区别。然而，这批loser到了中国这里却变成了精英···可见中国人低劣的精神层次。）可是，目前天朝绝大多数放弃数学转向经济的人其实并不是因为上述任何一种原因，而是为了某些不可告人的功利目的。比如清华北大每年数学系的绝大多数学生都会转向经济，但是他们中的大部分却能得到很好的GPA，这就充分暴露了他们的龌龊目的。中国人不知廉耻。明明在做一些见不得人的事情，却给你装得冠冕堂皇，似乎有许多大道理似的。其实假如你非要不屈不挠地追问缘由，他们又只能回归到吃饭，找工作，养家糊口等等土著问题上。尽管他们的内心这样子虚弱，可是他们认为没有被揭开的伤疤，那就不是伤疤。没有被揭穿的谎言，那就不算谎言。所以这个民族还有什么道德可讲呢？目前，中国人的从众心理已经使先学数学，再转经济这种典型的低等人模式风靡开来，许多人甚至因为害怕这样的人太多而放弃转向经济的“远大目标”，转而转向其他一些实际行业，这种现状实在是叫人心寒。更可怕的是，由于这些人已经铁了心要做低等人，要阉割改变命运，他们的学习模式也是极为肮脏功利的：他们念书就是为了考试，他们做题就是为了要像机器一样熟练，他们无耻地打听考试题，他们死缠烂打地在考试以后要求加分，他们臭不要脸地乞讨推荐信，他们像疯狗一样背书，他们像精神病一样记笔记···他们天天来往于宿舍和自习室，而假装学习的目的只有一个：做回低等人！啊！多么伟大！中国的落后在于没有人觉醒，所以中国人的观念里始终只有财富和地位，却没有精神层次上的高下。事实上，精神层次上的高下从某种意义上说是天赋的，因此更加本质，而财富和地位在任何一个有才能的人看来只要想得到立刻就会有了，根本没有什么意义。也许有一天我们对数学不再感兴趣，那么无聊之下也许会去赚点钱，然后捐给数学，换一种更有效的方式支持纯粹事业的发展，这就是James Simons所做的。所以，实际上并不是从数学转向经济这种行为本身很低劣，而是中国人动机的不纯使之低劣。一个高尚的人，无论在做什么，无论何时何地都不会放弃心中的那份纯粹。这也是我对大家的希望。中国人总是认为，发达国家公民的觉醒是物质累积的产物，从而将自身修养的拙劣推卸给物质的不足，这样才有了许多人嘴里所谓的“经济基础决定上层建筑”。这种说法的荒谬是不言而喻的，就连中国人一直信仰的马克思也是在饥寒交迫中创造了精神财富，其他例子就不用多谈了。事实上，物质累积下的觉醒始终是肤浅的觉醒，真正的觉醒，对于高层次精神文明的真正认同，必然源于灵魂深处的觉醒。人不堪其忧，回也不改其乐：真正纯粹的精神从来都是独立于物质的。而这种觉醒，需要依靠教育：告诉学生怎样做才是高尚的，而不仅仅是传授知识。学校的作用有且只有两个：第一，为学生做好后勤工作。第二，对抗社会。很可惜的是，目前中国的所谓学校，没有做到其中任何一条。所以，一方面学校在产出低等人，另一方面低等人不知道自己为什么低等。这就导致了先学数学，再转经济这种典型的低等人模式没有受到道义上的谴责。
我导师说，他更像是我的学生。我认为这不是事实，但我也确实不依赖于他的指导。
许多时候，导师所谓的指导是一种干扰。据我所知，凡是靠导师指导才写出thesis的，一般都不会有什么大成就。此辈庸庸碌碌，亦步亦趋，在学术圈混口饭吃而已，很快就会被历史遗忘。好的学问是带有强烈个人色彩的，外人干预越少越好。我导师在这方面做的就很好：他告诉我很多自己的idea，供我在没有灵感的时候参考，但从不鼓励我真的去用这些idea写论文。他认为我应该做大工作，写大论文。
当年Simpson在Harvard读博士，期间一共跟导师Schmid见过两面。第一次，他通知Schmid，自己已经选其做导师。第二次，他提交了博士论文。第二年，他的博士论文发表在JAMS。大家都是人，你们怎么做不到？
这都是国内考研制度的弊病。考研主要考数分高代，于是学生就干脆放弃其他专业课，专攻数分高代。结果连实变、泛函、拓扑这种最基本的数学都不会。而且像你们这些笨鸟先飞的人把本科大量的时间花在数分高代这种低层次学科上，那些真正有能力的学生反而有可能被你们劣币驱逐良币。中国人的一大特色就是老要去挖空心思争取一些什么东西，无论是高考、考研，还是竞赛，那些能力不行的人老想通过多花时间的方式把确实有天赋的人给挤掉，以获得不应该属于自己的利益，这样下去那些真正的人才永远也冒不出来。什么衡水中学，学生一不怕苦，二不怕死，这样出来的学生浑身的民工气质，眼界和品位根本就研究不了数学。我又要提到我朋友考南开陈所，笔试第一名。结果本科就学过类域论、指标定理、Griffiths-Harris、EGA、半单群表示甚至一大堆数学物理的他面试的时候竟然被一群数分高代控给淘汰了。理由是他想跟某教授，而面试时某教授不在，大概南开教授之间有些矛盾吧。我今天之所以懂一些数学，就是得益于他的启蒙教育，其数学水平和数学品位远高于我，可以说比起我所知道的任何一个数学家也毫不逊色。像他这样的人，本来应该去MIT，Princeton，结果却因为遭到土著的残酷迫害反而要gap两年去工作。你们整天吹嘘几个竞赛党，一会儿X神，一会儿X大牛，这些人算毛，真正的人才你们连见都没见过。
我觉得今天在国内，甚至在海外的华人phd学生（包括我），大多数都是通过劣币驱逐良币上位的。真正的人才大都被埋没了。世俗机构也没有几个人明白什么是真正的数学天赋，或者说即使明白也不在乎。他们需要的是听话的奴仆。
主要原因还是运气不好+家庭条件的限制。如果前几年方向还没有确定的时候，他能看得上我这个“三流大学或层次更低”的人，赏脸跟我交流一下，问问我对数学前景和导师选择的看法，或许现在早已成为Pantev的学生，找到顶级postdoc了。但当时我看到他在知乎回答里认为我水平不行。之前有个我在人人的粉丝，先是去了法国，后来到了Warwick，现在quit了。她在quit之后突然在微信上说，后悔当初没有多跟人交流。但是，我就在近在咫尺的伦敦，研究的方向也差不多，为什么过了一两年都没想到跟我交流一次呢？无非觉得自己是所谓名校毕业的，看不起我嘛···当然，我也不是说要对这些事耿耿于怀，人对事物的看法总是不断变化，逐渐成熟的，况且别人看不起我，对我而言也没有损失。
刘宇航走到这一步是很不容易了，复旦有几个人能拿到Upenn数学系的offer啊？必须得是尖子中的尖子才行，而且以他的家庭条件，要立志学数学，这也不是凡人能做得出来的选择。可以感觉到，直到现在他对数学还保有很强的热情，只是各种困扰使他难以为继。如果他的粉丝们肯为他众筹，让他有足够的资金把PhD延期两年的话，你们就赶紧掏钱，否则就不要在那里站着说话不腰疼了。
至于有人说他在知乎回答问题太多，浪费了太多时间，那就是你不了解别人内心的痛苦了。如果你盯着一个问题，做了五年还没有做出来，那当然有大把的闲暇时间，因为你没有灵感，不知道往什么方向努力，所以只能无所事事，上知乎打发时间，我做不出问题的时候也到知乎答题。Pure math就是这样，你要是知道怎么做，当然会集中精神努力一段时间，但大多数时候你并不知道要往哪里走，那又要怎么努力呢？而且，我个人在做不出问题的时候，往往也没有心情学别的数学，这其中的痛苦，只有经历过的人才能体会到，而刘宇航已经体会了好几年。
读博士为什么要就业？读博士是为了做出惊天动地，永垂不朽的研究工作，实现多年来追求真理的梦想，就不就业都是浮云。说实话，虽说我现在已经有两个postdoc位置保底，但对于去瑞典，去美国，还是留在英国，说实话我目前并没有什么考虑，在我看来也没有太大区别，关键是要能够写出伟大的作品。如果无法做出令自己满意的研究，即使让我去MIT也是生不如死；如果我真的证明了那些能够永载史册，或者至少影响领域数十年的定理，就算沦落到去肯德基刷盘子我也觉得无比幸福。一个数学家的幸福感不在于挣多少钱，也不在于在哪里高就，而在于是否取得了令自己满意的研究进展；不在于获得的利益，而在于做出的贡献和取得的成就。如果我此刻证明了Hodge猜想，就算立即死去又有何遗憾呢？
过去，庸人总是催我早点毕业，但我认为一个人在研究道路上是永远不会毕业的；后来，人们又在讲要早点就业，但就业不是我做研究的目的。距离我完成上一篇论文的初稿已经超过一年时间，而我仍旧没有在arxiv贴出任何论文，不是因为我在这段时间没有进展，而是因为我不想再发表任何自己不满意的结果。
我现在想的就是要完成一篇自认为有趣的作品，至于什么就业之类的事情，早已放下了。历史会记住那些对数学真正有贡献的人。如果你的目光足够长远，追求足够高尚，内心足够强大，所谓的就业就不重要了。
这是不可能的。学习的周期没有变长，数学也没有变得更困难。我从2014年下半年才算真正开始学习辛几何，之前只懂得一些基本的概念。但我学辛几何三年多时间就写出了可以发表在我们这个领域顶尖杂志上的论文，可以说已经接近于这个领域的专家了，所以学习时间哪里长了？以我愚钝的天资，感觉也没有比当年Whitney，Bott这些半路出家的天才入门更慢，可见数学没有变难。
数学不会随着它的发展变得更困难，这是Hilbert 1900年演讲里的观点。他认为，数学的发展虽然越来越快，分支越来越多，但最本质的只是极少数真正的进展，它们推进了我们对领域的整体理解，使得人们能够在正确的理论框架下看待已有的知识，从而可以实现对知识更快速的掌握。因此，虽然一个领域的众多工作会使之不断丰富，但每过一段时间都会有极少数真正的进展使这个领域得到重新归纳，以新的形式展现出来，从而更快地被人们吸收，成为思维方式的一部分。当知识成为了思维方式的一部分，它也就不需要被学习了。比如现在学习Chern class，大概微分几何的人只需要知道Chern-Weil理论的定义，而学代数几何的人只关心它用intersection theory的定义，不会再去遍历各种观点了。在我们的心目中，bundle有它的Chern class，就好像一个有限的集合有它的order一样理所当然，本身就是自然存在的，并不是一个强行要你接受的定义。只需要用已知的性质（splitting principle等等）来计算它就可以了，不会每次用到它的时候就回顾一遍它的定义。但几十年前可不是这样，研究它的定义本身就是当时最困难的问题。再比如对于Lefschetz fibration ，可以定义它的Fukaya category 。最早的时候，这个Fukaya category只能over characteristic不等于2的field 定义，因为我们没有好的工具来处理涉及non-compact Lagrangian submanifold的holomorphic curve理论，因此Seidel用了一个聪明的方法绕过了它们，转而考虑 的double branched cover 和它的compact Fukaya category ，把 定义为 的 -invariant subcategory。这就是为什么我们要假设 。但现在Ganatra-Pardon-Shende的工作找到了正确的geometric set up，即Liouville sector的概念，在他们的理论框架下， 只是某个通过 的data构造的Liouville sector 的wrapped Fukaya category 。这不但允许我们彻底抛弃Seidel那些brilliant tricks，还让我们可以over 定义 。因此，数学上真正的进展实际上让我们能够抛弃越来越多的“小聪明”，转而把握住事情的本质，掌握大道而不执着于局部的小技巧。
另外，虽然新的领域在不断地诞生，但老的领域也在不停地死亡。因此，年轻人只需要选择目下正在蓬勃发展的，有前途，又处在核心地位的领域去钻研，可以无视那些濒临死亡，轻易就能耗尽人一生的老领域。比如在这个时代，辛几何就是蓬勃发展的领域，而单变量的复分析就已经濒临死亡，没有任何一个真正第一流的数学家在从事这方面的研究。因为要成为一个一流数学家，选择领域和选择问题的眼光要比解决困难问题的能力重要得多。
至于说现在的数学家写论文比较慢，尤其是单干的时候，这是因为现在我们对工作质量的追求和过去不同了。过去数学的各个分支之间不像现在这么广泛联系，理论物理对数学的影响也不存在，因此许多数学工作，哪怕是大人物的工作，其实也就是个几页的小paper，并不去追求事情的本质，也不致力于建立不同领域之间的联系。像Erdos这样的数学家，一辈子写了1400多篇论文，但是真正能留下来被人们记住的其实没有几篇，大多数其实就是灌水，可以说像他们这种人，工作的质量是有问题的，所以Chern才会看不起他。但即使是在Chern和Erdos的时代，也有很多大气蓬勃，对自己要求很高的数学家，比如Kodaira，Atiyah，Sato，Grothendieck等等。这些数学家共同的特点也是比较晚熟。与某些所谓年少成名的古典分析学家20出头就刷了很多无关紧要的垃圾paper不同，这几个人都是30岁以后才真正达到了巅峰，事实也证明他们的许多重要工作都传承至今，并且改变了人们的思维方式，其他人根本就不在他们那个档次上工作。
许多人认为数学已经不在它发展的黄金时代，再发展下去迟早会遇到瓶颈，所以么研究做得好不好，人纯粹不纯粹，对自己要求高不高，其实都无关紧要，反正破罐子破摔了。其实这就是混淆视听，想办法为自己的堕落和无能寻找借口。我恰恰认为数学从整体上而言不会有瓶颈，每个时代都有属于它的领域，年轻人要做的就是找到这些领域，并且努力投入自己的精力和汗水，而不是随波逐流，因为自己的无能而批判时代的堕落。
我当年也没有机会接触到最好的数学，由于本科太差，我申请研究生院的时候，甚至只要有学校要我，只要方向和几何相关就满足了，我也不知道世界上有那么多最顶尖的学问，在香港是根本学不到，甚至很难接触到的。2013年，我在无意中看到了Seidel的书《Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory》，立刻被他的学问之广博所震撼：一个人怎么可能在如此熟悉具体的几何和分析的同时，又能对如此抽象而复杂的范畴工具了如指掌，驾轻就熟？书中所表现出的远见卓识和清晰思路远远超过我当时所见过的任何一位数学家，我第一次意识到原来这个世界上还有很多我不知道的高端学问，还有很多我根本无法想象的杰出人物。我不打算认命，我要想办法接触到最好的数学，最杰出的人物，为此我可以付出一切代价。正因为如此，我才能一步步走到今天。现在，我的梦想已经基本实现了。如果我当年认命，现在无非在韩国IBS，最多在IPMU做个三流的postdoc，回国以后去三本垃圾学校做一个默默无闻的讲师，一辈子就毁掉了。
于我而言，这个时代就是最好的时代，我做的学问就是最好的学问，并且我只用几年时间就已经达到了前沿水平。一个人只有一辈子去做正确的事，幸运的是我把握住了。
我还是说一些真正大器晚成的例子吧，有些人的眼光太狭隘。另外，我想强调，想要大器晚成肯定是要天赋异禀的，否则就只能庸庸碌碌一辈子。大器晚成的人只是年轻时候没有好的际遇，暂时没有做出大工作的资源。而那些天赋平庸的人就算资源再好也很难达到巅峰境界。所以究竟是晚成还是早成，只是个人遭遇问题，不是说天赋不行就可以等着晚成。
Kodaira34岁拿到phd可谓大器晚成，然而人家phd毕业就已经是大师级别的水准了。5年之后就得到fields奖。当然他比同一年得奖的Serre大了11岁可算是大器晚成。这个例子说明即使是fields奖获得者也有大器晚成的。Kodaira到了50岁以上还保持在巅峰状态，直到回日本以后他把主要精力放在教学上，数学研究才不像之前那么引人注目。他的主要贡献有3项：消灭与嵌入定理，复曲面，复结构的形变。每一项都是开天辟地。他大多数重要的工作都是40岁以后完成的，所以后来又得了Wolf奖。
BottBott之前是学electrical engineering的，后来才转的数学。30岁以前没写过什么数学论文，而Serre 28岁就得fields奖了，可见是大器晚成。然而人家没过几年就证明了周期定理，从此进入顶尖数学家的行列。他证明此定理的时候很多比他资历更老的拓扑学家都在算同伦群，而他却在那里观察规律捡现成。可见，有些人就是一辈子死心眼，过于踏实，其实也就是死板。做大工作还是需要机智和审美的。2000年获得Wolf奖。
Sato因为之前跟诺贝尔物理学奖得主朝永振一郎学习物理拿过一个理论物理phd，然后再转数学，所以Sato 35岁才拿到phd。然而跟Kodaira一样，他毕业的时候就是大师水准。博士论文开创了microlocal analysis，后来渐渐发展成代数分析这门学科。许多做代数几何的人都推崇Mukai在Fourier-Mukai transform上的工作，然而最早理解Grothendieck在derived category上想法的日本数学家可以说是Sato，Mukai的工作其实受Fourier-Sato transform的启发。另外，他有个好学生，Kashiwara，极大地发展了Sato学派的工作。最近几年Sato的工作甚至极大地影响了辛几何和辛拓扑。2003年获得Wolf奖。
我觉得数学家做到以上级别才可以算大器晚成吧。张益唐貌似是比以上三人还要晚成，但是无论是天赋还是成就，与他们都不在一个级别上。原因之一是他没找到一个好老板，导致经历过于曲折，被严重耽误了。然而更重要的原因还在于他的审美。大师虽然有各自的风格，但是他们的审美却是相对一致的。做数学而不懂得判断什么是美的，这才是最大的阻碍。
我有时候不太明白，为什么大多数搞数学的人都要执着于“问题”，提问就要问这个领域的核心问题是什么。我想问题只是数学的一部分，理论和语言也很重要。何况数学是研究结构的学科，不是为了解决问题才存在的，有些人的想法过于屌丝。
代数几何这么大的领域，核心问题什么时候成了MMP？Grothendieck就不搞MMP，他是不是没抓住代数几何的核心问题啊？说白了，MMP就是做具体的代数几何，说难听点就是代数几何里比较屌丝的一部分。虽然我不否认它是很好的学问，但是fancy程度跟算术几何当然没法比。
微分几何的也很大，然而我个人认为最重要的确实是了解曲率（包括度量）和拓扑的联系，也就是所谓的整体微分几何。然而也有很大一部分微分几何根本就不用联络和曲率，比如Gromov发展的度量几何。
把微分几何和复几何割裂开来是可笑的。微分几何包括很多方面，辛几何也可以算微分几何，只是所用工具不同。Riemann几何用的分析工具具有local nature，而辛几何所用的J-holomorphic curve则是具有global nature的分析工具。度量的存在性之所以重要很大程度上也是因为它能帮助我们了解整体的几何和拓扑性质，比如Betti number的估计，Poincare猜想，bundle的stability等等。然而复几何如此庞大的领域，重要的研究远不止度量而已。比如hyperbolic geometry就是很重要的方向，它本身也很庞大，比如跟Diophantine逼近，动力系统都有关系。而且复几何提供了研究代数几何问题的transcendental method。不要认为许多中国人在研究上面的度量，就度量最重要。中国人也有做别的问题的，比如Houston大学的汝敏教授，就是杰出的复几何学家；再比如Mok-Hwang合作发明了VMRT，这也是从复几何出发得到的研究代数几何的有力工具。
上面已经说过，J-holomorphic curve本身就是一个global in nature的分析工具。它对于辛几何而言当然是最重要的。然而J-holomorphic curve主要用到辛流形上的tame almost complex structure，是类比于复几何，主要用来得出rigidity方面的结果，这只是一半的辛几何。另一半flexibility同样重要。我在多个场合多次讲过，辛几何=代数拓扑+代数几何。举个辛几何的flexibility方面的例子：类比于拓扑，很重要的就是了解Stein manifold（辛几何上叫Weinstein manifold）的handlebody decomposition。在4-manifold topology上有Kirby calculus，那么就要寻找它的symplectic analogy。这方面主要依赖Weinstein和Eliashberg等人的贡献。其实本质上就是Morse theory，只是现在需要跟几何结构compatible。
一个只知道关注有什么问题的人是走不远的。必须要去关注理论的完备性，让数学作为一个学科更加完整。就辛几何而言，如果代数几何上的理论和结果，辛几何上还一片空白，那么就要想办法去把它找出来，这样辛几何的理论才完整。同样的，拓扑上已经有的surgery，辛几何上还没有人考虑过，那么就应该去做它的symplectic analogue。现在Gromov已经把纲领和原则告诉了我们，那么我们的任务就是要把这个学科发展完整，而不是只知道缩在小角落里面克服技术困难，那样魄力就太小了。其他几何也是一样的。为什么做算术，做Langlands的中国人都做得特别好，有些方向就要逊色一些，我想跟某些做几何的人不愿意从整体上去考虑数学也有关系。我算是过来人，身经百战，见的多了。过去我没有遇见志同道合的人，但是来伦敦了以后发现我这个领域比较好的数学家的想法跟我还是很一致的。我劝初学者还是多去了解一些picture，形成自己对学科的理解，坚持自己的数学风格，这样才能不被别人左右，有朝一日完成属于自己的大工作。整天钻在问题里并不是什么好事情，难道你打算一辈子打工吗？
说这些么很多人又要叫嚣：你是不是应该先把基础打好啊？可是我看那些整天叫嚣要解决问题的人连最简单的东西都没搞明白，看看你们知乎的问题就知道，基础比我都差得远呢！就不要在那里装腔作势了吧。
大多数人是因为数学不行，根本看不懂，不想努力又不肯承认自己落伍，不反对还能做什么？你还帖科学网的链接，这个科学网就是个民科窝点，里面的年轻人大都是些水平低劣的土博士，而老年人大都是些早已脱离时代的边缘人士，本质上就是民科水平，这些人根本连物理的门都没入。我记得多年前那边有个人叫张操，因为30年前的某个历史事件才得以侥幸留在美国，在美国期间的研究水平就非常差，后来回国，身边垃圾扎堆了，终于可以一心一意从事他喜爱的教学工作。此人行将就木却毫无自知之明，上蹿下跳，污染网络环境，多次发表超光速之类的民科谬论，曾经遭到我的长篇痛斥，不知道现在消停了没有。
许多人反对弦论的理由无非是不能通过实验验证之类的托词，根本没法在数学上提出任何见解。你要是这么喜欢实验那就去做实验物理。但是做实验物理就已经承认自己能力不行了，理论上的事情他们只能靠边站，没有资格出来唧唧歪歪。同样的道理也适用于那些数学不行的所谓理论物理研究者，比如李淼。
从数学上看，弦论无疑是有重大价值的，它导致了太多革命性的数学理论。就拿homological mirror symmetry来说，从弦论的角度看，mirror symmetry是个相当trivial的现象，这个trivial的现象在数学上却能研究二三十年而经久不衰，至今仍在产生美妙的定理。
研究理论物理的意义本来就不在于一些人所认为的现实目的，对任何理论的评价都应该基于它是否能推进人类对真理的追求。理论物理反过来影响了这么多数学分支，使我们发现了无数真理，对几何、表示甚至数论的理解都大大推进，这本身就说明了弦论的意义和自洽性，这本身就说明了弦论是个伟大的理论，不是那些连什么是Calabi-Yau流形都搞不明白的人可以随意置喙的。况且我们现在早已不谈论Calabi-Yau流形了，我们研究的是Calabi-Yau范畴。
许多顶尖的弦论学家都已经和数学家一样，意识到对宇宙的理解和对真理的追求是融合在一起的。用实验标准来评判物理理论的时代早就一去不复返了。有些思想上保守，理念上庸俗，水平上不济的所谓理论物理学家，他们的能力早就不足以研究最高端的学问，还死要面子，非要用所谓的“对”和“错”来评价弦论，其土著本色真是暴露无遗。这就好像人们都开始研究Langlands纲领了，某些小丑还认为“虚数是不存在的”，从而由此开始质疑所有涉及复数域的当代的数学研究一样，该有多么的荒谬和讽刺啊！
人类心智发展的过程本身就是超越实证的过程，几百年前的数学研究还和自然科学密不可分，但这个时代你还能从数学理论里找到一丝一毫自然科学的影子吗？如果你时至今日还认为研究理论物理是为了理解和解释自然现象的本质，甚至认为物理学是离不开实验的，那么你和当年那些质疑数学上是否该引入虚数的小丑就没有任何区别。历史的潮流总是滚滚向前，如果你没办法鼓起勇气去理解那些最困难的学问，就只能缩进角落里的舒适区，满足于一个狭隘迂腐的对物理学的传统界定，这其实也就注定了你不可能成为开拓者，只能被扫进历史的垃圾堆。
生死有命，成败在天，但理想和气节却是无法被剥夺的。如果连我们都去和小人妥协，放弃原则，只图私利，那么我们这个民族一定会被埋葬，被历史唾弃，成为千古笑柄。知识分子的担当就应该在这种时候体现，知识分子的生命就应该为这种事业牺牲。
孔子说：“发愤忘食，乐以忘忧，不知老之将至”，刘备说：“日月若驰，老将至矣，而功业未建”。但真正已老的人，就没有那么多梦想、原则和坚持了。多年来，我在网上和生活中见证了一波又一波人的老去，只有我自己还没老，依然慷慨奋烈，豪气纵横，丝毫没有忘记初心，就和二十岁以前一样。正因为我总是无法使自己老去，才会显得越来越孤独。
我一直清晰地认识到，人活着最重要的是绝不是什么放纵个性，享受生活，而是不断让自己变得更加完善，更加理性，用更加全面的眼光去看待这个世界。
那些不屈的抗争者，你们今天或许会嘲笑他们的不自量力，但谁又知道，他们今天所从事的事业不会成为曾经无边黑暗中石块撞击出的火光呢？只要有光，就有希望。没有一片土地上的自由不是靠看似无望的努力争取到的，即使是数学上的自由也不例外。
天下其谓我何？这是背离我研究数学的初衷的。数学界能始终坚持纯粹和理想主义的人太少了。
我始终记得，8年前我在网上找到龚升讲微积分的视频。他第一次课就说：科大的学生要有更高的追求，要有对真理的追求，不要总想着去弄几个钱。他还说：假如你做出来的东西真的是好东西，就不必在乎得不到承认，以今天的环境，就算在国内不被认可，在国际上也会有人欣赏的。就算像Abel和Galois这样，生前不被理解，死后也会流芳百世的。他说，你不要怕毕业以后找不到工作，你要想想，Abel和Galois做了这么伟大的工作，在他们活着的时候，依然没有大学要他们。我在国内的时候，从来没有机会进入像科大这样的顶尖学府，但龚升讲的这些话，我一直记到今天，并且也打算这样去做。我不知道科大毕业的人有多少真正被他的话触动，但今天所谓顶尖机构的许多学生的虚弱本质我早已了然于心：我会用自己的工作狠狠羞辱他们，因为只有他们被羞辱了，纯粹的灵魂才能找回应有的尊严。
我这辈子最大的遗憾，就是至今还没有遇到过一个知己，但伟大的人都是孤独的。你若看谁都很顺眼，只能说明自己的平庸，而我则是强忍着几乎看谁都不顺眼的煎熬，勉强说一些看上去像正常人会说的话。降低气场已经太久，不知何时才能活回真我？
我最欣赏Yau的地方也在于此：为了心中的事业，可以牺牲一切，我敬他有英雄之魂。如果正义之士对自己还不如那些坏人更狠，又怎么可能战胜他们呢？而我恰恰是狠得下心来的英雄，无论付出多大代价都要实现自己的理想。
为什么要做数学？不是为了满足感，不是为了成就，而是为了坚守人类心底的纯粹。
我作为一个数学家，作为极少数最聪明的人之一，我在乎的是什么？是“仁义礼智信”，是“不容然后见君子”，是“以天下为己任”，是“虽千万人吾往矣”，这些人类精神中最珍贵的东西，是不能用来博弈的，即使是牺牲生命也要捍卫！
我做人的原则可以用三个字来概括，那就是真、善、狠。真、善、狠的核心不是真和善，而是狠。真和善是理想主义者的追求，而狠是实现它的途径。没有狠的保护，所谓的真和善就只是一句空话而已。《苍天航路》动画版的最后一集叫作“心中的黑暗”，我希望理想主义者的心中要有黑暗。因为心中没有黑暗的人，也无法知道真正的光明之所在。
数学是一辈子的事，有人二十岁就很强，也有人五十岁才开始变强。无论是选择像藤泽秀行那样强烈努力，还是像武宫正树那样兴趣广泛，理想奔放，都有机会成为超一流的数学家。怕就怕理想和热情不在了。武宫曾经说他记得藤泽的教悔，敬佩他的精神，但他无法像藤泽那样努力，他有自己的道路。
要成为一个一流数学家，选择领域和选择问题的眼光要比解决困难问题的能力重要得多。
我第一次意识到原来这个世界上还有很多我不知道的高端学问，还有很多我根本无法想象的杰出人物。我不打算认命，我要想办法接触到最好的数学，最杰出的人物，为此我可以付出一切代价。正因为如此，我才能一步步走到今天。现在，我的梦想已经基本实现了。如果我当年认命，现在无非在韩国IBS，最多在IPMU做个三流的postdoc，回国以后去三本垃圾学校做一个默默无闻的讲师，一辈子就毁掉了。
于我而言，这个时代就是最好的时代，我做的学问就是最好的学问，并且我只用几年时间就已经达到了前沿水平。一个人只有一辈子去做正确的事，幸运的是我把握住了。
我想，最重要的就是要学会相信自己，像你这样动不动就请教大神的做法，在精神气质上就不对，恐怕很难达到高超的境界。只知道人云亦云，亦步亦趋，没有自己的主见，就算能成为一个优秀的人，也不可能达到卓越的水准。而现在体制内那些所谓优秀的人，大都失去了自己的个性和道德良知，只不过是一些精致的利己主义者，遇事不敢发表自己的观点，噤若寒蝉，这样是不可能做出真正有价值的创造的，最多就是在数学上做几个习题自娱自乐。
在精神气质上猥琐，即使再努力也是没有用的。我要是像你一样，整天崇拜这个大神，向那个大神请教，那我今天大概膝盖都直不起来了。但是我从不认为任何人是不可超越的，始终相信自己假以时日可以达到比他们更高的境界。无论是智力不如别人，还是学得不如别人扎实，这些事情都是可以弥补的，没什么了不起。如果智力低就多花点时间，如果不扎实就多学点东西。数学知识的深度和广度对于数学研究的帮助是等价的，绝不存在深度比广度更重要的情况。要知道，作为一个数学家，应该是一个自由的个体，没有人有资格强迫你具有某种特定的工作风格。就算你连十以内加减法都要摁计算器，只要你能做出有价值的工作，还是会得到应有的承认。
有些人连我的英语都看不懂，数学就更别说了。这些人本来就资质驽下，什么都不行，国学一无所知，历史一窍不通，欣赏不了文学，也理解不了哲学，更奢谈数学了。就算是英语这种只要花时间，是个人就能学好的没有技术含量的科目，这些人也没有耐心好好学一学，反而挑剔别人中英夹杂什么心态，我想这部分人真该反思一下为什么自己沦落到了这个地步？无能还有理了？这些人上知乎除了能在回复里说别人**，还能做什么？你们能看得懂什么？人活在世界上，就算不能留下永不磨灭的精神财富，也应该活个明白，真正理解这个世界的美和丑。整天就知道挣钱吃饭，饱食终日，无所用心，你们究竟是什么心态？
Tao本来就是数学界的流行歌手，拿不拿菲尔兹奖对真正的数学家而言没有区别。
韦东奕不是一个纯粹的人。之所以断言此事，是因为韦东奕在参加竞赛的过程中，纯数学和应用数学的分支都参加了。这在庸众看来可能是“全能”，但是在立志要在纯数学方面有所作为的人看来，这种行为是不可接受的。真正热爱纯粹数学的人绝对不会看得上应用数学，这是数学家应该坚守的精神底线。为什么要做数学？不是为了获得满足感，不是为了创造，不是为了有成就，而是为了坚守人类心底的纯粹，这种纯粹在社会上已经被那些庸人敲打得支离破碎，但是在数学这里还能够找回来。就我个人而言，这是我研究纯粹数学的全部原因。
韦东奕为了竞赛而竞赛，内心没有对于纯粹的精神世界的向往，没有对于现实世界的仇视，这就更印证了我们在第1点中所说的，他是一个没有人文情怀的人。没有情怀，固然可以在世俗者的眼中成就一时，但是绝对走不远。我始终坚信：数学不是凭借能力即可做好，而是需要信仰，需要审美，需要情怀。
刚才又回想起一些往事。 本科我最艰难的时候是大三上。之前虽然我也不去上课，甚至不交作业，老师都还算有职业道德，只是在最后的成绩里面略扣几分罢了。所以大多数数学课程还在90分以上。到了大三上，情况突然就变了，有些教师非常无聊，因为我不去上课，不做作业就要扣掉二三十分，这使我的情况一下子变得困窘了。更有甚者，有些老师因为对我个人有意见，就在卷子上故意把对的题目判错，这更令我觉得忍无可忍，为什么人性能够扭曲到这个地步呢？ 而且大三上正是我对数学热情最高的时候，那时候我希望了解Grothendieck，Langlands等人高屋建瓴的工作，也正在学习Stein，Rudin等人的分析学著作《Harmonic Analysis》和《Fourier Analysis on Groups》。我想看Knapp的书来学习表示，想看Weil的《Basic Number Theory》，也想看《Fourier Analysis on Number Fields》来学习Tate的博士论文。我在学Elie Cartan的活动标架法，又试图在闲暇去读Yosida的泛函分析，还希望能从Kobayashi和Nomizu的书里了解到真正的现代微分几何。我走在路上的时候思考怎么用数理逻辑来重写Kant等人的认识论工作。因为我没有确定方向，所以没有顾虑，我希望了解一切。我从数学中得到激情，我整宿不睡，并日而食，因为发现还有那么多美妙的东西还没有了解。那时候的我如饥似渴，求知欲远胜于现在。当然就更没有时间去听那些自己都没有学懂的人在那里瞎扯淡了。 那是最好的时候，也是最坏的时候。 偏偏是精神世界最充实的时候，在世俗世界却会遭逢不幸。因为上面提及的原因，我的GPA被拉下很多，我觉得很绝望，因为再过一年就要申请学校了。 那时候我试着找一些老师，想要跟他们做些问题以提升自己的筹码，就像很多俗人所做的一样。每次去他们办公室我就很失望，因为经常传出来打牌的声音，其中还裹挟着无耻的嬉笑。走廊里有很多大数学家的头像，附有几行字来介绍他们的主要成就。我每次去听到有人在打牌，我就走到那些头像那里，一个一个地凝视，我觉得自己有必要给他们道歉，他们被挂在这楼里不是为了被那些打牌的人羞辱的。每当我走到Grothendieck那里，我都会凝视很久。在我看来，学者应该是有个性的，应该去关注一切，而不只是在小角落里埋头苦算。 那个学期快要结束的时候，我有点想要做数论。然后我找到一个教授，说我正在念Weil的《Basic Number Theory》。我说我对拓扑群上的调和分析已经比较熟悉，书里面的代数也不难，应该能够看懂这书了。我想我希望得到一些指导，至少是鼓励，但是最后那个老师劝我去找份工作，因为学数学不赚钱。他活了半辈子，终于悟出了这个道理啊，呵呵。
那次回去我哭了一晚上。
快到期末的时候我觉得很凄凉，没有任何人支持我，《毛泽东思想、邓小平理论、三个代表》这门课的老师因为跟我有矛盾还给了我不及格。我觉得你身为一个男人，为什么不能做点光明正大的事情？却非要来做这种课的老师，这本身就已经是不道德的，怎么还好意思腆着个大脸，非装出一副人的模样呢？实在是太搞笑了。班主任找我谈话，他跟我说：你要证明自己能力的话就不要申请出去，还是应该来参加我们的保研考试。我不明白人为什么会这么无知，而且我这辈子最讨厌的事就是证明自己，因为这种事是不会有尽头的，总会有人想要你证明自己，而你也一深深陷其中，一辈子就在这轮回中浪费了。而证明自己就要打压别人，人吃人，何时休？其实这是万恶之源。
回到家里也没有人支持我，那个寒假很难熬，我都不知道是怎么挺过去的。总之一切都会过去，一切又都不会过去。
寒假的时候我知道一个东西叫Atiyah-Singer指标定理，那是我最后决定做几何的原因之一。到了大三下，我就开始念一些拓扑和几何方面的东西，比如Bott & Tu，Jost的《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》，Gilkey的《Invariance theory，heat equation，and Atiyah-Singer index theorem》。我觉得我对几何很不习惯，尤其是Jost的书本身风格就比较怪异，不是从connection开始的。因为我当时在考虑一个调和分析问题，所以实际上念几何的进度很慢。
到那个学期期末的时候，我只上过一次泛函分析。那个学期我开始学会那些俗人的游戏规则：就是不管前面有没有去上过课，最后一次一定要去，因为要讲考试范围。在此之前，我一直是把整本书复习一遍，习题全部做一遍。因为我只想用三天时间来做这些无聊的事，所以期末的时候经常要熬夜。对我来说，为了梦想，总是不得不下调自己的道德底线，这是最令我痛心的事。一个丑陋的制度最丑陋的地方莫过于它让制度里的每一个人都变得跟它一样丑陋。逃都逃不掉，逃都逃不掉···
最后一次泛函课的时候，孙金丽老师把我叫住，我以为又要听到那些老生常谈了，然后就是扣我的平时分···但事实并非如此。她跟我聊了很久，问我对数学的看法。我说泛函分析绝不是好方向，因为发展得已经比较完善，并且从几何的角度看只是一个局部的理论，所用工具无非是general topology和线性代数，用这么naive的工具和这么朴素的观点是产生不了好学问的。虽然后来有一些精细的发展，比如Schuader basis，但这都属于细枝末节，而素有盛名的Gelfand theory不过是1-dimensional representation的例子。当时我认为最重要、最有前景的方向是算术、表示和几何。然后她问我在学什么东西，未来有什么打算等等。我说我在看指标定理，未来想看看Griffiths-Harris的书，因为我不想只局限在Riemannian geometry，代数几何也要慢慢弄明白。然后她问我申请的事，问我申不到怎么办？我原以为，她既然这么问，一定会劝我说申不到就去找个工作，没想到她很严肃地看着我，跟我说：申不到也不要放弃，你以后一定要坚持做数学。我答应了。
因为这句话我觉得很感动，直到现在。我说我既没有天赋，学习也不用功，只是因为有兴趣才看了些书，学得也不好，没有想到能得到这样的看重。尤其是那个时候所有人都对我不屑一顾。
我当时努力憋住了眼泪。她问我为什么要从物理转到数学，理论物理不是也挺纯粹的吗？我说物理系老师上课在扯淡，我不想听。她说听不懂可以自己学呀，你现在不是都自己学吗？我说其实第一年在应用物理专业的时候我并不知道自己要干什么，那时候我的梦想是做一个诗人，从没有想过要做数学或者物理这么tough的东西···我们相视而笑。
君子之交淡如水。不知不觉事情已经过去两年，这两年里我也没有跟她联系，但是这份恩情是我一生都不会忘记的。她昭示了即使是在一个如此麻木的地方，还是会有有情怀的人带给你温暖。恶固然强大，但是善也敢于反抗。就我自己而言，只要有一个人还能理解我，我就不会放弃。
今天是大陆的教师节，想到这里我觉得无以为报，唯有信守诺言，以期不负所望。她不是不知道我天赋平庸，即使坚持一辈子也很可能毫无成就，但是她还是去做了，用自己的善心带给我生活的希望。她不是不知道萍水相逢，过不了多久我就可能忘掉这一切，但她还是去做了，不是为了得到回报，而是为了数学本身，为了纯粹，为了人类心底的美好。
美哉，德也！